Статистика – Опря А. Т. – § 1.8. Перевірка гіпотез про істотність різниць дисперсій за критеріями Кохрана і Бартлета
Розглянуте вище відноситься до випадків перевірки статистичної гіпотези про рівність тільки двох дисперсій. У випадку необхідності отримання оцінки істотності ряду дисперсій (більше двох) використовують інші критерії. При однаковій чисельності вибіркових сукупностей використовується критерій Кохрана, при неоднакових вибірках – критерій Бартлета.
При розрахунку критерію Кохрана (ц) знаходять відношення максимальної дисперсії (із порівнюваних) до суми всіх дисперсій:
Сг^ “
Сг – +СТ2 + … + СГ
Одержану величину критерію Кохрана (дР) порівнюють з табличним значення (дГ) при числі ступенів вільності : у = п -1 (додаток 10).
Якщо ДР > яТ, нульова гіпотеза відхиляється. Тобто дисперсії визначаються неоднорідними, оскільки їх відмінність істотна.
Із критеріїв, що використовуються для перевірки гіпотези про однорідність дисперсій, найпотужнішим визнано критерій. Бартлета (М). Як і за допомогою критерію Кохрана, критерієм Бартлета оцінюється істотність відмінності кількох дисперсій. Теоретичною основою використання даного критерію є припущення про нормальність розподілу ознак у досліджуваних сукупностях.
Суть розрахунку критерію М полягає в порівнянні зваженої середньої арифметичної і середньої геометричної із дисперсій. Якщо порівнювані дисперсії рівні, то середня арифметична і середня геометрична із дисперсій збігатимуться.
Обчислюють середню арифметичну зважену (сг2) і середню геометричну (о-2) із дисперсій, що порівнюються :
°А =~|>Г. а;2 = 2 $ ?г((сг,2)”)
Введений в статистику критерій Бартлета (М) для перевірки рівності дисперсій являє собою відношення:
М = 1п== Xпі.
Сг’
Після перетворення натуральних логарифмів в десяткові формула має вигляд : М=2,3026 (^о-а£пЛ пі^сг2 ).
Якщо прийняти відношення -, де
Пі У пі
С = 1 +-,
3(т -1)
То його розподіл відповідає розподілу критерію Хі – квадрат (х2) з числом ступенів вільності, рівним Р-1 (Р – кількість дисперсій, які порівнюються). Тому критичні значення критерію М знаходять за стандартними математичними таблицями розподілу Х2 при обраній довірчій імовірності (Р) і числу ступенів ВІЛЬНОСТІ У = Р -1.
Для прикладу розглянемо вибіркові сукупності господарств трьох регіонів за оплатою людино – дня. Вибірки характеризується
Такими даними : щ = 90; и2 = 100 ; и3 = 120;ст12 = 25,16ст22 = 24,10; ст32 = 23,00 .
Для перевірки нульової гіпотези істотності відмінностей дисперсій, отриманих із неоднакових вибірок, обчислюють такі параметри:
О-;2 (25,16 х 90 + 24,10 х 100 + 23,00 х 120) :310 = 23,98;
= ^23,98 = 1,3799 ;
£и%ст2 = 90^25,16 +1001^24,10 +1201§23,00 = 427,667 ;
М = 2,3026(427,769) = 0,2349 .
У і___к_ 1_ J___1_
С = 1 + Лі ^ Лі = 1 + 90 +100 + 120 ” 310 = 1 + – V02.6- = 1,-437 3(т -1) 3 х 2 6
Розрахункова величина критерію Бартлета дорівнюватиме :
М 0 2349
– = 0,2349 = 0,234 .
С 1,00437
За стандартною математичною таблицею значень х1 при порозі імовірності Р=0,95 і числі ступенів вільності у = 3 -1 = 2 знаходимо критичні значення Х2= 6,0 (додаток 7) .
Оскільки х2Р < ( 0,234 < 6,0), робимо висновок про неістотну відмінність в дисперсіях. Тобто, відмінності вибіркових дисперсій є випадковими, а, отже, результати спостережень не суперечать гіпотезі, що перевіряється.
Резюмуючи розгляд питань про критерії згоди, необхідно пам’ятати такі особливості використання їх в аналітичній роботі. По-перше, при порівнянні емпіричного розподілу з тим чи іншим завжди мається на увазі не вибіркова сукупність, а генеральна. Вибірка тут характеризує генеральну сукупність, а тому висновки про значимість чи невірогідність відмінностей в розподілах відносяться до генеральної сукупності. По – друге, при трактовці понять “значимість” і “невірогідність” потрібно пам’ятати, що відсутність значимих розбіжностей між емпіричним і теоретичним рядами розподілу ще не значить, що емпіричний розподіл ( у генеральній сукупності) в точності слідує шуканому закону розподілу. Факт відсутності значимих розбіжностей дає можливість признати емпіричну сукупність як сукупність, розподілену за відповідним законом, що не одне і те ж.
Використовуючи досить простий за своєю конструкцією критерій ламбда, потрібно дотримуватися умови його використання – достатнє число одиниць спостереження. До оцінки нечисленних вибірок критерій згоди Колмогорова неприйнятний.
(1 votes, average: 5,00 out of 5)