Статистика – Опря А. Т. – 7.1.2. Алгоритми рішення дисперсійних моделей

Приклад. Розглянемо послідовність розрахунку однофакторного дисперсійного комплексу на прикладі залежності середньорічного надою корів ( V) від рівня годівлі (А) в 30 (п) підприємствах.

На першому етапі здійснюється групування підприємств за факторною ознакою. У даному прикладі сукупність підприємствах. поділена на три групи за рівнем використання кормів на корову в рік (А). Обробка вихідної інформації здійснюється за схемою таблиці 47.

С С

На підставі даних таблиці 47 знаходимо загальну ( У), факторну ( *), залишкову (^ ) дисперсії:

С =УУ2 -^’= 39740 – 39138 = 602; п

(У V )2

СХ =У Н -^’= 39433 – 39138 = 295; п

СГ = 2 – XН = 39740 – 39433 = 307.

С с с

Співвідношення складових дисперсій ( ” 2) до загальної ( У) показує ступінь участі факторних ознак у формуванні загальної їзмінюваності результативної ознаки. Так, ступінь впливу рівня годівлі корів на їх

^ = <к = 295 = 0,49 С 602

Продуктивність становитиме: У (49%).

Ступінь впливу суми інших неврахованих факторів на результативну

^ = 307 = 0,51 ‘ С 602

Ознаку обчислюється за таким співвідношенням: У ( 51%).

Таким чином, у розглянутому прикладі факторна ознака (рівень годівлі) визначає 49% загальної варіації результативної ознаки (надою).

Таблиця 47

Вихідні і розрахункові дані однофакторного дисперсійного комплексу

Статистика   Опря А. Т.   7.1.2. Алгоритми рішення дисперсійних моделей

Дисперсія як показник різноманітності залежить від кількості одиниць спостереження (підприємств) у групі. Для визначення впливу факторів ця обставина не має значення. В інших же випадках, зокрема, при встановленні вірогідності впливу факторів, необхідний показник, вільний від вказаної залежності, що допускає порівняння груп, різних за кількістю елементів, що входять до них. Таким показником є коригована дисперсія – девіата.

Девіатою називають дисперсію, яка припадає на один елемент вільного варіювання або на один ступінь вільності.

■ ■ Г1

Корінь квадратний з девіати ° ) являє собою звичайний показник математичної статистики – середнє квадратичне відхилення

У нашому прикладі число ступенів вільності варіації (Г) для факторної

Ознаки і для неврахованих факторів становитиме відповідно : У* ~1 ~1 ~ 3 ~1 ~ 2; уГ= п -1 = 30 – 3 = 21, Де і – КІЛькІСть виділених груп; п – чисельність вибірки. Розрахуємо девіати :

Ст2 = ^ = 295 = 141,50; СТ2 = = 301 = 11,31

* у, 2 2 уГ 21

Критерієм вірогідності впливу факторної ознаки на результативну є співвідношення її девіати до девіати неврахованих факторів. Якщо розраховане співвідношення дорівнює чи більше визначеної стандартної величини, вплив вважається вірогідним з певним ступенем імовірності. Стандартні відношення девіат визначаються за спеціальними таблицями (додатки 8,9).

Знаходимо це співвідношення для факторної ознаки на такому прикладі:

= 4 = Н150 = 12,91. Р О 11,31

Одержаний критерій ( Р) порівнюємо з табличним його значенням при двох порогах ймовірності : 0,95; 0,99 (додатки 8,9).

Наведемо стандартні співвідношення девіат, що відповідають ступеням вільності варіації.

Імовірність Р Критерій Б

0,95 3,3

0,99 5,5

У нашому прикладі Р (12,91) > Гт (3,3). Отже, в досліджуваних підприємствах вплив рівня годівлі корів на їх продуктивність виявився досить сильним і вірогідним. Про вірогідність результатів аналізу свідчить високий ступінь імовірності 0,99.

Приклад. Розрахунок двофакторного дисперсійного комплексу розглянемо на прикладі вивчення залежності собівартості 1ц молока (V) в 30 підприємств району від рівня концентрації поголів’я корів (А) і спеціалізації виробництва молока (В). з цією метою сукупність розділена на 2 групи з подальшим поділом на 2 підгрупи (табл. 48).

С

На підставі розрахункових даних таблиці 48 визначаємо загальну ( ‘), факторну ( * ) і залишкову (^ ) дисперсії:

С =2>2 – 2£1 = 23328,61 – (826,98)2 = 532,14;

С, =2Н – ^ = 23023,33 – (826,98)2 = 226,80; С2 = УУ2 – ^Н = 23328,67 – 23023,33 = 305,34.

Таблиця 48

Вихідні і розрахункові дані двофакторного дисперсійного комплексу

Статистика   Опря А. Т.   7.1.2. Алгоритми рішення дисперсійних моделей

Ступінь впливу факторних ознак (концентрації її і спеціалізації виробництва) на результативну ознаку (собівартість виробництва молока)

Ті – ^ – ^ = 0,4262 С 53214

Становитиме : У (42,6 %). Ступінь впливу неврахованих

С_^__ 305,34 = 0,5738 С 53214

Факторів на результативну ознаку буде: У (57,4 %).

Для кількісної характеристики впливу кожного з факторів слід дисперсію

Їх сумарної дії розкласти на складові, тобто в факторній дисперсії ( * )

Виділити дисперсії першого ( а ) і другого ( “) факторів, а також їх сполучення

(^АВ).Дисперсія ^ав характеризує ступінь зумовленості впливу першого фактора другим. Складемо допоміжну таблицю 49. Третя колонка цієї таблиці розраховується на основі даних таблиці 49.

59,62=28,81 +30,81; 52,19 = 28,81 + 23,38

Таблиця 49

Допоміжні розрахунки для обробки дисперсійного комплексу за факторами А, В

Градація, і

Число середніх, і

‘ і

М2

2

59,69

29,81

888,63

2

51,06

25,53

651,78

110,68

£М2 = 1540,41

2

52,19

26,10

681,2100

ВГ

2

58,49

29,24

854,9776

110,68

£М2 = 1536,1876

Середня арифметична (загальна) по градаціях факторів становить: М = *Ь. = 11068 = 27,67.

Ступінь різноманітності середніх арифметичних собівартості 1ц молока розраховуємо в такій послідовності :

С’ = ІЖ _ мі ] = 30[3^ – 27,672 } = 221,70; для всіх градацій – VА* ) ^ ‘

_ Й№і_Мі] = 30Г154!41-27,672] = 137,10 для градації ^ ~ =чЛ ^ ;

В _ С. = Л£І _ мі ] = 30Г1536,19 – 27,672 ] = 74,10 для градації ^ В ) ;

Для сполучення факторів

А і В ~ = С* ~ С’А ~С’В = 221,70 – 137,10 – 74,10 =10,50 Для розкладу сумарної дисперсії досліджуваних факторів на складові розраховуємо поправочний коефіцієнт:

К = ^ = 226,80 = 1,023. С’Х 221,70

Дисперсії, зумовлені дією досліджуваних факторів і їх сполучення, становлять С Л = С’аК = 137,10-1,023 = 140,25; СВ = С’В К = 74,10-1,023 = 75,81; САВ = С’АВК = 10,50 o 1,023 = 10,74.

Кінцева дисперсійна структура двофакторного дисперсійного комплексу

С = (С, + С” + С,”) + С7 = 226,80 + 305,34 = 5320,14. матиме вигляд: У ■ А В АВ’ Г

Розраховуємо ступінь впливу факторів, що вивчаються, на формування

Змінюваності результативної ознаки. Зокрема, рівень концентрації поголів’я

__ С1 = ИОД5 = 0,2636,

С 53214

Корів визначає варіацію собівартості 1 ц молока У або

Гі __ = ^ = 01425, С 53214

26,36 %; фактор спеціалізації – У або 14,25; взаємодія

, = = ^О1! = 0,0202, С 53214

Факторів – У або 2,02 %.

Числа ступенів вільності для розрахунку девіати в двофакторному

Комплексі розраховуються в такій послідовності : У Л = ІЛ ~1 = 2 ~1 = 1; уВ = їВ -1 = 2 -1 = 1; уАв = їЛ ■ їВ = 1; уХ =уА + уВ +уЛв = 3; уГ= П – ЇА ■ їВ = 30 – 4 = 26. Визначаємо девіати :

АА =£. = 140,25 = 140,25; *1 =^ = 1581 = 15,81;

<в = ^ = Ш^ю,^ Д1 = ;226!80 = 15,60;

УА В 1 у, 3

О* = = 305,34 = 11,14.

УГ 26 Розраховуємо Б – критерій: РЛ =£ = = 11 =£ = 75,81 = 6,45;

О 11,14 о 11,14

РЛ, = 1024 = 0,91; р = 4 =15,60 = 6,44.

ЛВ о 11,14 * ст2 11,14

Одержані критерії порівнюємо з табличними їх значеннями при двох порогах імовірності 0,95 і 0,99 (додатки 8,9).

Стандартні відношення девіат, які відповідають ступеням вільності

Варіації неврахованих факторів (Уг = 26) і розрахованим вище ступеням вільності варіації досліджуваних факторів становитимуть:

Імовірність Р Критерій Б

При “1 = 1 При “3 = 3

0,95 4,22 2,98

0,99 1,12 4,64

Результати аналізу кожного з факторів окремої чи сумарної їх дії слід вважати вірогідними при тих порогах імовірності, де

РР > РТ. Недостовірними при Рр < Р.

Приклад. Розглянемо послідовність розрахунку трифакторного дисперсійного комплексу на прикладі вивчення залежності собівартості виробництва 1ц яловичини (V) від рівня продуктивності праці (А) , рівня витрат кормів на 1 ц приросту (В) і собівартості 1ц кормових одиниць (С). З метою кількісної оцінки названих вище факторів на результативну ознаку будуємо трифакторний дисперсійний комплекс, основу якого становить комбінаційне групування 66 підприємств (табл. 50).

Досліджувану сукупність спочатку розподілено на дві групи: з рівнем

Затрат робочого часу на виробництво 1 ц яловичини до 90 людино – годин. понад 90 людино – годин (^2). У кожній групі було виділено по дві підгрупи з середнім розміром витрат кормів на 1 ц продукції: менше 10 (^) і більше 10 ц

Кормових одиниць. (^2). Потім кожна з них у свою чергу розподілена ще на дві підгрупи: з собівартістю 1 ц кормових одиниць, згодованих тваринам, до 14

С с

Грн.^1) і понад 14 грн. ( 2). У результаті досліджувана сукупність підприємств

Була розподілена на 8 підгруп, по кожній з яких наведено варіанти

Результативної ознаки (V) – рівень собівартості виробництва 0,1ц яловичини.

Оскільки у нашому прикладі розглядається трифакторний нерівномірний

Комплекс, обробку його здійснюємо в такій послідовності: спочатку будуємо

Звичайним чином кореляційну решітку, потім виконуємо допоміжні

Розрахунки, результати яких заносимо в цю ж таблицю. До них відносяться

УУ

Кількість (“=66) і сума (*-o ) варіант досліджуваного комплексу, сума часток від ділення квадратів сум варіант по кожній підгрупі на число варіант У Н

=669887,82), сума квадратів середніх арифметичних по підгрупах (У^м2 = 78826.00)

С

На підставі розрахункових даних таблиці 50 визначаємо загальну ( У),

С с

Факторну ( *) і залишкову ( ^ ) дисперсії:

С =УТ2 – ) = 672890,20 – 6599,772 = 12936,20;

(У V)2 6599 772 С =У НГ -^’= 669887,32–99-= 9933,32;

Є; = ^V2 – £Н1 = 672890.20 – 669887.32 = 3002.88

Встановлюємо частку всіх досліджуваних факторів у загальній варіації результативної ознаки. Так, ступінь впливу продуктивності праці, розміру

…… ,1 – І9333! = 0,768,

Витрат і вартості кормів на рівень собівартості становить : 12936,20

2 3002,88

ЛІ =-‘- = 0,232,

Або 76,8%; а суми неврахованих факторів – 12936,20 АБ0 23,2%.

Як відзначалося вище, у багатофакторних комплексах дисперсія спільної

Дії врахованих факторів ( *) підлягає розподілу на дисперсії кожного з

Ссе

Факторів окремо ( А’ В’ С), а також дисперсії різних варіантів їх сполучень (С С С С )

^ аво Ав> ас> вс) . у нерівномірних комплексах всі часткові дисперсії факторів відрізнятимуться від величин таких же дисперсій в рівномірному комплексі, тому позначимо їх через С.

Допоміжні розрахунки для визначення окремих дисперсій показані у таблицях 51 і 52.

Таблиця 50

Обробка трифакторного дисперсійного комплексу

(А – групи підприємств за рівнем продуктивності праці, людино-годин на 1 ц ; В – розмір витрат кормів на виробництво 1ц яловичини, ц корм, од.; С – собівартість 1ц кормових одиниць, згодованих худобі, грн;

V – рівень собівартості 0,1ц яловичини, грн.; И’ – кількість підприємств)

Групи та підгрупи за факторами

Вихідні і розрахункові дані

= 2; 4 = 2; /С = 2

V

Щ

ТУ

“і

4

1 “до

90

А – до 10

СІ – до 14

76,76; 75,74…

4

278,01

77289,56

19322,39

19676,70

69,50

4830,25

Понад 14

87,74; 92,09…

9

866,53

750874,24

83430,47

83792,93

96,28

9269,84

В2_

Понад 10

СІ – до 14

84,44; 92,84…

8

733,03

537332,98

67166,62

67376,62

91,63

8396,06

С

2 понад 14

104,88; 102,08…

6

657,06

431727,84

71954,64

72144,87

109,51

11992,44

А.

Понад 90

Діло ю В2 _ Понад 10

СІ – до 14

85,84; 98,66…

10

902,86

815156,18

81515,62

81919,98

90,29

8152,28

С2_

Понад 14

107,17; 102,49…

9

966,59

934296,23

103810,69

104154,52

107,40

11513,29

С. _ до 14

10126; 103,22…

11

1117,69

1249230,94

113566,45

111971,19

101,61

10324,59

Понад 14

123,48; 118,42…

9

1078,00

12920,44

129120,44

129673,92

119,78

14347,25

Сума

6599,77

66

669887,32

672890,20

78826,00

Ступінь відмінності по всіх факторах визначаємо за вище наведеною формулою:

Статистика   Опря А. Т.   7.1.2. Алгоритми рішення дисперсійних моделей

Таблиця 51

Допоміжні розрахунки для обробки дисперсійного комплексу за факторами А, В, С

О “

Розрахункові дані

Групи і підгрупи за факторами

Число середніх (

Число спостереже

(“)

М, = ^ ‘ і

М2

ТУ

П

4

27

366,92

8414,39

2534,63

2534,63

93,87

4

39

419,08

104,77

10976,75

4065,14

104,23

Показники по фактору

66

786,00

19391,14

6599,77

100,00

А

В,

4

32

363,47

90,87

8257,36

301,99

91,19

4

34

422,53

105,63

11157,70

3585,78

105,46

Показники по фактору В

66

786,00

19415,06

6599,77

100,00

С,

4

33

353,03

88,26

7789,83

3031,59

91,87

СГ

4

38

432,97

108,24

11715,90

3568,18

108,18

Показники по фактору С

66

786,00

19505,73

6599,77

100,0

Таблиця 52

Допоміжні розрахунки для обробки сполучень факторів

Підгрупи за факторами

Число середніх (1)

Розрахункові дані

Ум, І

М2

4 А

2

165,18

82,89

6810,15

2

201,14

100,51

10114,32

2

191,69

98,84

9169,35

4 В2

2

221,39

110,69

12252,28

186,00

ЕМАв =39006,10

2

161,13

80,56

6489,91

А ^2

2

205,19

102,89

10586,35

2

191,90

95,95

9206,40

А2 С2

2

221,18

113,59

12902,69

186,00

2>’с =39185,35

В, С1

2

159,19

19,89

6382,41

2

203,68

101,84

10311,39

В2 С1

2

193,24

96,62

9335,42

В2 С2

2

229,29

114,64

13142,33

189,00

ЕМ’с =39231,55

За даними таблиць 51 і 52 визначаємо ступінь вільності середніх арифметичних для об’єднаних факторів : А і В – С™ = “(Аав ~ КК~ ^ + М”),

ІМ^ = 3900610 = 9151,01;

Де а ‘в ^ ^

УМ2 19391 14 к, =^-^ = 19391,14 = 9695,51

М = Г941506 = 9101,53. І 2

Отже,

С’АВ = 66(9151,61 – 9695,51 – 9101,53 + 9653,06) = 101,58.

Аналогічно розраховуємо часткові дисперсії для інших сполучень факторів:

А і С – С’АС ~ 66(9196,34 – 9695,51 – 9152,86 + 9653,06) = 64,02;

В і С – СВ с = 66(9801,89 – 9101,53 – 9152,86 + 9653,06) = 36,96;

А, В, С

С’АВС = 13212,54 – 2805,66 – 3595,02 – 6586,80 -101,58 – 64,02 – 39,96 = 16,50.

С 9933 32

Знаходимо поправочний коефіцієнт К = – =-‘■–0,1518.

Г С’Х 13212,54

Для виправлення часткових дисперсій С*, Сд, Св, Сс, Сдв, Сдс, Св С, Сдвс множимо на їх поправку 0,7512 і результати заносимо в другий рядок таблиці 54. Ступінь впливу досліджуваних факторів у формуванні загальної мінливості собівартості визначається відношенням часткових дисперсій по факторах (СА; СВ;;СС) І Їх Сполучень (Сав;САс;СВс;САВС) До Загальної дИСПерсії ^ У нашому прикладі для фактора А (затрати живої праці на 1ц приросту)

С, 12936,20 ,

У ‘ тобто в умовах досліджуваних підприємств варіація

Продуктивності праці становить 16,3 % варіації собівартості виробництва

Продукції.

Фактор В ( розмір витрат кормів на виробництво 1ц яловичини) становить 20,9 % коливання показника рівня собівартості, а фактор С (вартість 1ц корм. од.) – 38,3 %. Частка впливу у зміні рівня собівартості взаємодії факторів характеризується такими даними: А і В – 0,6 %; А і С – 0,4 %; В і С – 0,2 %; А, В і С – 0,1 %.

Знаходимо число ступенів вільності варіації, які в трифакторному

Дисперсійному комплексі обчислюють у такому порядку : У&; = 1 = 1; уВ = іВ-1 = 1; УС = ІС-1 = 1; уАв=уЛ-уВ = 1; vAC =vAOvC = 1; УВс = vВOvC = 1;

^двс = УЛ ■Ув-Ус = 1; V, = УА+^+^с +^ав +^ас +^вс +^авс = 7.

Сума часткових ступенів вільності повинна давати їх число для загальної

Дисперсії У ‘ 1

Девіати, розраховані за даними нашого прикладу, наведені у таблиці 53 по рядку 5.

Вірогідність дії факторів і їх сполучень визначаємо, як і раніше відношенням факторних девіат і їх сполучень до залишкової девіати. Для нашого прикладу наведені по рядку 5 таблиці величини девіат ділимо на залишкову дисперсію 51,77. Обчислені значення коефіцієнтів Р записуємо по рядку 6.

Зіставляючи обчисленні та табличні значення Р критеріїв бачимо, що

Загальнофакторна дисперсія * і дисперсії, викликані кожним з досліджуваних факторів, достовірні при всіх порогах імовірності (Р=0,95 ; Р=0,99 ; Р=0,999),

Оскільки Р > ГТ. Дисперсії, зумовлені сполученнями (при всіх можливих варіантах) факторів, виявились невірогідними.

Таблиця 53

Зведена інформація результатів лічильної обробки трифакторного дисперсійного комплексу

Статистичні характеристики

Умовні позначення

А

В

С

АВ

АС

ВС

АВС

X

Г

У

Дисперсія

Невиправлена

С

2805,66

3595,02

6586,80

107,58

64,02

36,96

16,90

13212,54

Виправлена

С = С’-К

2109,29

2702,74

4951,96

80,88

48,13

27,79

12,40

9933,32

3002,88

12936,20

Коефіцієнт співвідношення

0,163

0,209

0,383

0,006

0,004

0,002

0,001

0,768

0,232

1,000

Число ступенів вільності

V

1

1

1

1

1

1

1

7

58

65

Девіата

А1

2109,29

2702,74

4951,69

80,88

48,13

27,79

12,40

1419,04

51,77

Критерій Фішера

40,74

52,21

95,65

1,56

0,93

0,54

0,24

27,41

Розрахунковий

0,999

12,1

12,1

12,1

12,1

12,1

12,1

12,1

4,3

Табличний

Р Т 0,99 0,95

7,1 4,0

7,1 4,0

7,1 4,0

7,1 4,0

7,1 4,0

7,1 4,0

7,1 4,0

3,0 2,2


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 votes, average: 3,50 out of 5)

Статистика – Опря А. Т. – 7.1.2. Алгоритми рішення дисперсійних моделей