Статистика – Опря А. Т. – 7.1.2. Алгоритми рішення дисперсійних моделей
Приклад. Розглянемо послідовність розрахунку однофакторного дисперсійного комплексу на прикладі залежності середньорічного надою корів ( V) від рівня годівлі (А) в 30 (п) підприємствах.
На першому етапі здійснюється групування підприємств за факторною ознакою. У даному прикладі сукупність підприємствах. поділена на три групи за рівнем використання кормів на корову в рік (А). Обробка вихідної інформації здійснюється за схемою таблиці 47.
С С
На підставі даних таблиці 47 знаходимо загальну ( У), факторну ( *), залишкову (^ ) дисперсії:
С =УУ2 -^’= 39740 – 39138 = 602; п
(У V )2
СХ =У Н -^’= 39433 – 39138 = 295; п
СГ = 2 – XН = 39740 – 39433 = 307.
С с с
Співвідношення складових дисперсій ( ” 2) до загальної ( У) показує ступінь участі факторних ознак у формуванні загальної їзмінюваності результативної ознаки. Так, ступінь впливу рівня годівлі корів на їх
^ = <к = 295 = 0,49 С 602
Продуктивність становитиме: У (49%).
Ступінь впливу суми інших неврахованих факторів на результативну
^ = 307 = 0,51 ‘ С 602
Ознаку обчислюється за таким співвідношенням: У ( 51%).
Таким чином, у розглянутому прикладі факторна ознака (рівень годівлі) визначає 49% загальної варіації результативної ознаки (надою).
Таблиця 47
Вихідні і розрахункові дані однофакторного дисперсійного комплексу
Дисперсія як показник різноманітності залежить від кількості одиниць спостереження (підприємств) у групі. Для визначення впливу факторів ця обставина не має значення. В інших же випадках, зокрема, при встановленні вірогідності впливу факторів, необхідний показник, вільний від вказаної залежності, що допускає порівняння груп, різних за кількістю елементів, що входять до них. Таким показником є коригована дисперсія – девіата.
Девіатою називають дисперсію, яка припадає на один елемент вільного варіювання або на один ступінь вільності.
■ ■ Г1
Корінь квадратний з девіати ° ) являє собою звичайний показник математичної статистики – середнє квадратичне відхилення
У нашому прикладі число ступенів вільності варіації (Г) для факторної
Ознаки і для неврахованих факторів становитиме відповідно : У* ~1 ~1 ~ 3 ~1 ~ 2; уГ= п -1 = 30 – 3 = 21, Де і – КІЛькІСть виділених груп; п – чисельність вибірки. Розрахуємо девіати :
Ст2 = ^ = 295 = 141,50; СТ2 = = 301 = 11,31
* у, 2 2 уГ 21
Критерієм вірогідності впливу факторної ознаки на результативну є співвідношення її девіати до девіати неврахованих факторів. Якщо розраховане співвідношення дорівнює чи більше визначеної стандартної величини, вплив вважається вірогідним з певним ступенем імовірності. Стандартні відношення девіат визначаються за спеціальними таблицями (додатки 8,9).
Знаходимо це співвідношення для факторної ознаки на такому прикладі:
= 4 = Н150 = 12,91. Р О 11,31
Одержаний критерій ( Р) порівнюємо з табличним його значенням при двох порогах ймовірності : 0,95; 0,99 (додатки 8,9).
Наведемо стандартні співвідношення девіат, що відповідають ступеням вільності варіації.
Імовірність Р Критерій Б
0,95 3,3
0,99 5,5
У нашому прикладі Р (12,91) > Гт (3,3). Отже, в досліджуваних підприємствах вплив рівня годівлі корів на їх продуктивність виявився досить сильним і вірогідним. Про вірогідність результатів аналізу свідчить високий ступінь імовірності 0,99.
Приклад. Розрахунок двофакторного дисперсійного комплексу розглянемо на прикладі вивчення залежності собівартості 1ц молока (V) в 30 підприємств району від рівня концентрації поголів’я корів (А) і спеціалізації виробництва молока (В). з цією метою сукупність розділена на 2 групи з подальшим поділом на 2 підгрупи (табл. 48).
С
На підставі розрахункових даних таблиці 48 визначаємо загальну ( ‘), факторну ( * ) і залишкову (^ ) дисперсії:
С =2>2 – 2£1 = 23328,61 – (826,98)2 = 532,14;
С, =2Н – ^ = 23023,33 – (826,98)2 = 226,80; С2 = УУ2 – ^Н = 23328,67 – 23023,33 = 305,34.
Таблиця 48
Вихідні і розрахункові дані двофакторного дисперсійного комплексу
Ступінь впливу факторних ознак (концентрації її і спеціалізації виробництва) на результативну ознаку (собівартість виробництва молока)
Ті – ^ – ^ = 0,4262 С 53214
Становитиме : У (42,6 %). Ступінь впливу неврахованих
С_^__ 305,34 = 0,5738 С 53214
Факторів на результативну ознаку буде: У (57,4 %).
Для кількісної характеристики впливу кожного з факторів слід дисперсію
Їх сумарної дії розкласти на складові, тобто в факторній дисперсії ( * )
Виділити дисперсії першого ( а ) і другого ( “) факторів, а також їх сполучення
(^АВ).Дисперсія ^ав характеризує ступінь зумовленості впливу першого фактора другим. Складемо допоміжну таблицю 49. Третя колонка цієї таблиці розраховується на основі даних таблиці 49.
59,62=28,81 +30,81; 52,19 = 28,81 + 23,38
Таблиця 49
Допоміжні розрахунки для обробки дисперсійного комплексу за факторами А, В
Градація, і | Число середніх, і | ‘ і | М2 | |
2 | 59,69 | 29,81 | 888,63 | |
2 | 51,06 | 25,53 | 651,78 | |
110,68 | £М2 = 1540,41 | |||
2 | 52,19 | 26,10 | 681,2100 | |
ВГ | 2 | 58,49 | 29,24 | 854,9776 |
110,68 | £М2 = 1536,1876 |
Середня арифметична (загальна) по градаціях факторів становить: М = *Ь. = 11068 = 27,67.
Ступінь різноманітності середніх арифметичних собівартості 1ц молока розраховуємо в такій послідовності :
С’ = ІЖ _ мі ] = 30[3^ – 27,672 } = 221,70; для всіх градацій – VА* ) ^ ‘
_ Й№і_Мі] = 30Г154!41-27,672] = 137,10 для градації ^ ~ =чЛ ^ ;
В _ С. = Л£І _ мі ] = 30Г1536,19 – 27,672 ] = 74,10 для градації ^ В ) ;
Для сполучення факторів
А і В ~ = С* ~ С’А ~С’В = 221,70 – 137,10 – 74,10 =10,50 Для розкладу сумарної дисперсії досліджуваних факторів на складові розраховуємо поправочний коефіцієнт:
К = ^ = 226,80 = 1,023. С’Х 221,70
Дисперсії, зумовлені дією досліджуваних факторів і їх сполучення, становлять С Л = С’аК = 137,10-1,023 = 140,25; СВ = С’В К = 74,10-1,023 = 75,81; САВ = С’АВК = 10,50 o 1,023 = 10,74.
Кінцева дисперсійна структура двофакторного дисперсійного комплексу
С = (С, + С” + С,”) + С7 = 226,80 + 305,34 = 5320,14. матиме вигляд: У ■ А В АВ’ Г
Розраховуємо ступінь впливу факторів, що вивчаються, на формування
Змінюваності результативної ознаки. Зокрема, рівень концентрації поголів’я
__ С1 = ИОД5 = 0,2636,
С 53214
Корів визначає варіацію собівартості 1 ц молока У або
Гі __ = ^ = 01425, С 53214
26,36 %; фактор спеціалізації – У або 14,25; взаємодія
, = = ^О1! = 0,0202, С 53214
Факторів – У або 2,02 %.
Числа ступенів вільності для розрахунку девіати в двофакторному
Комплексі розраховуються в такій послідовності : У Л = ІЛ ~1 = 2 ~1 = 1; уВ = їВ -1 = 2 -1 = 1; уАв = їЛ ■ їВ = 1; уХ =уА + уВ +уЛв = 3; уГ= П – ЇА ■ їВ = 30 – 4 = 26. Визначаємо девіати :
АА =£. = 140,25 = 140,25; *1 =^ = 1581 = 15,81;
<в = ^ = Ш^ю,^ Д1 = ;226!80 = 15,60;
УА В 1 у, 3
О* = = 305,34 = 11,14.
УГ 26 Розраховуємо Б – критерій: РЛ =£ = = 11 =£ = 75,81 = 6,45;
О 11,14 о 11,14
РЛ, = 1024 = 0,91; р = 4 =15,60 = 6,44.
ЛВ о 11,14 * ст2 11,14
Одержані критерії порівнюємо з табличними їх значеннями при двох порогах імовірності 0,95 і 0,99 (додатки 8,9).
Стандартні відношення девіат, які відповідають ступеням вільності
Варіації неврахованих факторів (Уг = 26) і розрахованим вище ступеням вільності варіації досліджуваних факторів становитимуть:
Імовірність Р Критерій Б
При “1 = 1 При “3 = 3
0,95 4,22 2,98
0,99 1,12 4,64
Результати аналізу кожного з факторів окремої чи сумарної їх дії слід вважати вірогідними при тих порогах імовірності, де
РР > РТ. Недостовірними при Рр < Р.
Приклад. Розглянемо послідовність розрахунку трифакторного дисперсійного комплексу на прикладі вивчення залежності собівартості виробництва 1ц яловичини (V) від рівня продуктивності праці (А) , рівня витрат кормів на 1 ц приросту (В) і собівартості 1ц кормових одиниць (С). З метою кількісної оцінки названих вище факторів на результативну ознаку будуємо трифакторний дисперсійний комплекс, основу якого становить комбінаційне групування 66 підприємств (табл. 50).
Досліджувану сукупність спочатку розподілено на дві групи: з рівнем
Затрат робочого часу на виробництво 1 ц яловичини до 90 людино – годин. понад 90 людино – годин (^2). У кожній групі було виділено по дві підгрупи з середнім розміром витрат кормів на 1 ц продукції: менше 10 (^) і більше 10 ц
Кормових одиниць. (^2). Потім кожна з них у свою чергу розподілена ще на дві підгрупи: з собівартістю 1 ц кормових одиниць, згодованих тваринам, до 14
С с
Грн.^1) і понад 14 грн. ( 2). У результаті досліджувана сукупність підприємств
Була розподілена на 8 підгруп, по кожній з яких наведено варіанти
Результативної ознаки (V) – рівень собівартості виробництва 0,1ц яловичини.
Оскільки у нашому прикладі розглядається трифакторний нерівномірний
Комплекс, обробку його здійснюємо в такій послідовності: спочатку будуємо
Звичайним чином кореляційну решітку, потім виконуємо допоміжні
Розрахунки, результати яких заносимо в цю ж таблицю. До них відносяться
УУ
Кількість (“=66) і сума (*-o ) варіант досліджуваного комплексу, сума часток від ділення квадратів сум варіант по кожній підгрупі на число варіант У Н
=669887,82), сума квадратів середніх арифметичних по підгрупах (У^м2 = 78826.00)
С
На підставі розрахункових даних таблиці 50 визначаємо загальну ( У),
С с
Факторну ( *) і залишкову ( ^ ) дисперсії:
С =УТ2 – ) = 672890,20 – 6599,772 = 12936,20;
(У V)2 6599 772 С =У НГ -^’= 669887,32–99-= 9933,32;
Є; = ^V2 – £Н1 = 672890.20 – 669887.32 = 3002.88
Встановлюємо частку всіх досліджуваних факторів у загальній варіації результативної ознаки. Так, ступінь впливу продуктивності праці, розміру
…… ,1 – І9333! = 0,768,
Витрат і вартості кормів на рівень собівартості становить : 12936,20
2 3002,88
ЛІ =-‘- = 0,232,
Або 76,8%; а суми неврахованих факторів – 12936,20 АБ0 23,2%.
Як відзначалося вище, у багатофакторних комплексах дисперсія спільної
Дії врахованих факторів ( *) підлягає розподілу на дисперсії кожного з
Ссе
Факторів окремо ( А’ В’ С), а також дисперсії різних варіантів їх сполучень (С С С С )
^ аво Ав> ас> вс) . у нерівномірних комплексах всі часткові дисперсії факторів відрізнятимуться від величин таких же дисперсій в рівномірному комплексі, тому позначимо їх через С.
Допоміжні розрахунки для визначення окремих дисперсій показані у таблицях 51 і 52.
Таблиця 50
Обробка трифакторного дисперсійного комплексу
(А – групи підприємств за рівнем продуктивності праці, людино-годин на 1 ц ; В – розмір витрат кормів на виробництво 1ц яловичини, ц корм, од.; С – собівартість 1ц кормових одиниць, згодованих худобі, грн;
V – рівень собівартості 0,1ц яловичини, грн.; И’ – кількість підприємств)
Групи та підгрупи за факторами | Вихідні і розрахункові дані | |||||||||
1А = 2; 4 = 2; /С = 2 | V | Щ | ТУ | “і | 2у | |||||
4 1 “до 90 | А – до 10 | СІ – до 14 | 76,76; 75,74… | 4 | 278,01 | 77289,56 | 19322,39 | 19676,70 | 69,50 | 4830,25 |
Понад 14 | 87,74; 92,09… | 9 | 866,53 | 750874,24 | 83430,47 | 83792,93 | 96,28 | 9269,84 | ||
В2_ Понад 10 | СІ – до 14 | 84,44; 92,84… | 8 | 733,03 | 537332,98 | 67166,62 | 67376,62 | 91,63 | 8396,06 | |
С 2 понад 14 | 104,88; 102,08… | 6 | 657,06 | 431727,84 | 71954,64 | 72144,87 | 109,51 | 11992,44 | ||
А. Понад 90 | Діло ю В2 _ Понад 10 | СІ – до 14 | 85,84; 98,66… | 10 | 902,86 | 815156,18 | 81515,62 | 81919,98 | 90,29 | 8152,28 |
С2_ Понад 14 | 107,17; 102,49… | 9 | 966,59 | 934296,23 | 103810,69 | 104154,52 | 107,40 | 11513,29 | ||
С. _ до 14 | 10126; 103,22… | 11 | 1117,69 | 1249230,94 | 113566,45 | 111971,19 | 101,61 | 10324,59 | ||
Понад 14 | 123,48; 118,42… | 9 | 1078,00 | 12920,44 | 129120,44 | 129673,92 | 119,78 | 14347,25 | ||
Сума | 6599,77 | 66 | – | – | 669887,32 | 672890,20 | – | 78826,00 |
Ступінь відмінності по всіх факторах визначаємо за вище наведеною формулою:
Таблиця 51
Допоміжні розрахунки для обробки дисперсійного комплексу за факторами А, В, С
О “ | Розрахункові дані | ||||||
Групи і підгрупи за факторами | Число середніх ( | Число спостереже (“) | М, = ^ ‘ і | М2 | ТУ | П | |
4 | 27 | 366,92 | 8414,39 | 2534,63 | 2534,63 | 93,87 | |
4 | 39 | 419,08 | 104,77 | 10976,75 | 4065,14 | 104,23 | |
Показники по фактору | 66 | 786,00 | – | 19391,14 | 6599,77 | 100,00 | |
А | |||||||
В, | 4 | 32 | 363,47 | 90,87 | 8257,36 | 301,99 | 91,19 |
4 | 34 | 422,53 | 105,63 | 11157,70 | 3585,78 | 105,46 | |
Показники по фактору В | 66 | 786,00 | – | 19415,06 | 6599,77 | 100,00 | |
С, | 4 | 33 | 353,03 | 88,26 | 7789,83 | 3031,59 | 91,87 |
СГ | 4 | 38 | 432,97 | 108,24 | 11715,90 | 3568,18 | 108,18 |
Показники по фактору С | 66 | 786,00 | – | 19505,73 | 6599,77 | 100,0 |
Таблиця 52
Допоміжні розрахунки для обробки сполучень факторів
Підгрупи за факторами | Число середніх (1) | Розрахункові дані | ||
Ум, І | М2 | |||
4 А | 2 | 165,18 | 82,89 | 6810,15 |
2 | 201,14 | 100,51 | 10114,32 | |
2 | 191,69 | 98,84 | 9169,35 | |
4 В2 | 2 | 221,39 | 110,69 | 12252,28 |
186,00 | – | ЕМАв =39006,10 | ||
2 | 161,13 | 80,56 | 6489,91 | |
А ^2 | 2 | 205,19 | 102,89 | 10586,35 |
2 | 191,90 | 95,95 | 9206,40 | |
А2 С2 | 2 | 221,18 | 113,59 | 12902,69 |
186,00 | – | 2>’с =39185,35 | ||
В, С1 | 2 | 159,19 | 19,89 | 6382,41 |
2 | 203,68 | 101,84 | 10311,39 | |
В2 С1 | 2 | 193,24 | 96,62 | 9335,42 |
В2 С2 | 2 | 229,29 | 114,64 | 13142,33 |
189,00 | – | ЕМ’с =39231,55 |
За даними таблиць 51 і 52 визначаємо ступінь вільності середніх арифметичних для об’єднаних факторів : А і В – С™ = “(Аав ~ КК~ ^ + М”),
ІМ^ = 3900610 = 9151,01;
Де а ‘в ^ ^
УМ2 19391 14 к, =^-^ = 19391,14 = 9695,51
М = Г941506 = 9101,53. І 2
Отже,
С’АВ = 66(9151,61 – 9695,51 – 9101,53 + 9653,06) = 101,58.
Аналогічно розраховуємо часткові дисперсії для інших сполучень факторів:
А і С – С’АС ~ 66(9196,34 – 9695,51 – 9152,86 + 9653,06) = 64,02;
В і С – СВ с = 66(9801,89 – 9101,53 – 9152,86 + 9653,06) = 36,96;
А, В, С
С’АВС = 13212,54 – 2805,66 – 3595,02 – 6586,80 -101,58 – 64,02 – 39,96 = 16,50.
С 9933 32
Знаходимо поправочний коефіцієнт К = – =-‘■–0,1518.
Г С’Х 13212,54
Для виправлення часткових дисперсій С*, Сд, Св, Сс, Сдв, Сдс, Св С, Сдвс множимо на їх поправку 0,7512 і результати заносимо в другий рядок таблиці 54. Ступінь впливу досліджуваних факторів у формуванні загальної мінливості собівартості визначається відношенням часткових дисперсій по факторах (СА; СВ;;СС) І Їх Сполучень (Сав;САс;СВс;САВС) До Загальної дИСПерсії ^ У нашому прикладі для фактора А (затрати живої праці на 1ц приросту)
С, 12936,20 ,
У ‘ тобто в умовах досліджуваних підприємств варіація
Продуктивності праці становить 16,3 % варіації собівартості виробництва
Продукції.
Фактор В ( розмір витрат кормів на виробництво 1ц яловичини) становить 20,9 % коливання показника рівня собівартості, а фактор С (вартість 1ц корм. од.) – 38,3 %. Частка впливу у зміні рівня собівартості взаємодії факторів характеризується такими даними: А і В – 0,6 %; А і С – 0,4 %; В і С – 0,2 %; А, В і С – 0,1 %.
Знаходимо число ступенів вільності варіації, які в трифакторному
Дисперсійному комплексі обчислюють у такому порядку : У&; = 1 = 1; уВ = іВ-1 = 1; УС = ІС-1 = 1; уАв=уЛ-уВ = 1; vAC =vAOvC = 1; УВс = vВOvC = 1;
^двс = УЛ ■Ув-Ус = 1; V, = УА+^+^с +^ав +^ас +^вс +^авс = 7.
Сума часткових ступенів вільності повинна давати їх число для загальної
Дисперсії У ‘ 1
Девіати, розраховані за даними нашого прикладу, наведені у таблиці 53 по рядку 5.
Вірогідність дії факторів і їх сполучень визначаємо, як і раніше відношенням факторних девіат і їх сполучень до залишкової девіати. Для нашого прикладу наведені по рядку 5 таблиці величини девіат ділимо на залишкову дисперсію 51,77. Обчислені значення коефіцієнтів Р записуємо по рядку 6.
Зіставляючи обчисленні та табличні значення Р критеріїв бачимо, що
Загальнофакторна дисперсія * і дисперсії, викликані кожним з досліджуваних факторів, достовірні при всіх порогах імовірності (Р=0,95 ; Р=0,99 ; Р=0,999),
Оскільки Р > ГТ. Дисперсії, зумовлені сполученнями (при всіх можливих варіантах) факторів, виявились невірогідними.
Таблиця 53
Зведена інформація результатів лічильної обробки трифакторного дисперсійного комплексу
Статистичні характеристики | Умовні позначення | А | В | С | АВ | АС | ВС | АВС | X | Г | У |
Дисперсія | |||||||||||
Невиправлена | С | 2805,66 | 3595,02 | 6586,80 | 107,58 | 64,02 | 36,96 | 16,90 | 13212,54 | ||
Виправлена | С = С’-К | 2109,29 | 2702,74 | 4951,96 | 80,88 | 48,13 | 27,79 | 12,40 | 9933,32 | 3002,88 | 12936,20 |
Коефіцієнт співвідношення | 0,163 | 0,209 | 0,383 | 0,006 | 0,004 | 0,002 | 0,001 | 0,768 | 0,232 | 1,000 | |
Число ступенів вільності | V | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 7 | 58 | 65 |
Девіата | А1 | 2109,29 | 2702,74 | 4951,69 | 80,88 | 48,13 | 27,79 | 12,40 | 1419,04 | 51,77 | – |
Критерій Фішера | 40,74 | 52,21 | 95,65 | 1,56 | 0,93 | 0,54 | 0,24 | 27,41 | – | – | |
Розрахунковий | 0,999 | 12,1 | 12,1 | 12,1 | 12,1 | 12,1 | 12,1 | 12,1 | 4,3 | – | – |
Табличний | Р Т 0,99 0,95 | 7,1 4,0 | 7,1 4,0 | 7,1 4,0 | 7,1 4,0 | 7,1 4,0 | 7,1 4,0 | 7,1 4,0 | 3,0 2,2 | – | – |