Математична статистика – Руденко В. М. – Дисперсія випадкової величини
Математичне сподівання показує, навколо якої чисельної міри групуються значення випадкової величини. Проте, необхідно також мати можливість вимірювати мінливість (варіативність) випадкової величини щодо математичного сподівання. Таким показником мінливості є математичне сподівання квадрату різниці між випадковою величиною та її математичним сподіванням, а саме M[(X – М[Х])2 ].
Означення. дисперсією випадкової величини x називається число14 DX] = M[(X-M[X])2], (3.30)
Або DX] = ±f(xT) o(*, – M[X])2.
На рис.3.26 наведено формули для розрахунку розподілу – статистичної ймовірності fx;) – а також показників: математичного сподівання М[Х] (комірка Е9) і дисперсії D[X] (комірка G9).
14 Пропонуємо порівняти це означення з означенням вибіркової дисперсії
S2.
Рис. 3.26. Формули розрахунку м[х] і 0[Х] У таблиці рис.3.27 показано результати розрахунку математичного сподівання М[х] і дисперсії 0[Х] за даними приклада 3.14, а також гістограму розподілу М[х] = 4,00 (комірка Е9) і дисперсія 0[Х] = 1,00 (комірка в9).
Математичне сподівання показує, що значення випадкової величини X групуються біля значення 4,00, кількість яких становить 50% від загальної кількості. Проте, навколо такого ж значення можуть групуватися й інші дані.
Рис. 3.27. Таблиця і гістограма розподілу з А/[Х]=4,00 і £>[Х]=1,00
З рис.3.28 видно, що для математичного сподіванням[х] = 4,00 дисперсія £>[Х] = 2,32 є удвічі більшою, ніж за даними рис. 3.27. Про значну мінливість свідчить й відповідна гістограма.
Рис. 3.28. Таблиця і гістограма розподілу з М[Х]=4,00 і £>[Х]=2,32
Пропонуємо порівняти таблиці і графіки рис. 3.27 і 3.28 і зробити висновки. Властивості Дисперсії випадкової величини, які постійно використовуються у ймовірносно-статистичних методах:
O якщо X – випадкова величина, а і Ь – деякі числа, У = ах+Ь, то
D[ax+b] = a2D[X] (3.31)
(це значить, що число а як параметр масштабу суттєво впливає на дисперсію, тоді як число b – параметр зсуву на значення дисперсії не впливає);
O якщо X1, X2, XN – попарно незалежні випадкові величини (тобто XT і X незалежні для i Ф j ), то дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій
D[X1 + X2 + … + XN] = D[X1] + D[X2] + …+D[XN]. (3.32)
Співвідношення щодо математичного сподівання (3.25) і дисперсії (3.32) мають важливе значення при вивченні вибіркових властивостей, оскільки результати вибіркових спостережень або вимірів розглядаються в математичній статистиці, як реалізації незалежних випадкових величин.
З дисперсією випадкової величини тісно зв’язаний ще один показник мінливості – стандартне відхилення.
Означення. Стандартним відхиленням випадкової величини x називається невід’ємне число
SD[ X ] = +VD[X]. (3.33)
Отже, Стандартне відхиленнях однозначно зв’язано з дисперсією.
У теорії та практиці статистичних досліджень також важливу роль відіграють спеціальні функції – так звані моменти (початкові і центральні), які є характеристиками випадкових величин.
Означення. Початковим моментом k-то порядку випадкової величини X називається математичне сподівання k-ї степені цієї величини:
~K = M[ XK ].15 (3.34)
Означення. Центральним моментом k-то порядку випадкової величини X називається математичне сподівання k-ї степені відхилення цієї величини x від його математичного сподівання:
M = m[x – M(X)Y , (3.35)
Або MK = M[X – a]K, де a = M[X].
Для позначення мометнів випадкових величин використовуємо ті ж самі літери, що і для мометнів варіаційного ряду, але з додатковим знаком ~ (“тільда”).
Формули для обчислення моментів дискретних (які приймають значення ХІ з імовірністю р,) і неперервних (зі щільністю ймовірності /х)) випадкових
Величин наведено у табл. 3.4.
Таблиця 3.4
Формули для обчислення моментів випадкових величин
Як і для варіаційних рядків моменти дискретних випадкових величин мають аналогічний сенс:
Перший початковий момент (¿=1) випадкової величини Хе її Математичним сподіванням:
~1 = М[Х] = ц. (3.36)
Другий центральний момент (¿=2) визначає дисперсію 0[Х] випадкової величини x:
ШГ (хі – а)2 рІ = ЦХ] = (Т2. (3.37)
Третій центральний момент (¿=3) характеризує асиметрію розподілу випадкової величини x:
П
Коефіцієнт асиметрії а розподілу випадкової величини x має вигляд:
-Г = ~X(хі ” а)3РІ = А. (3.38)
Четвертий центральний момент (¿=4) характеризує крутість розподілу випадкової величини.
На основі порівняння значень теоретичних і вибіркових моментів виконується оцінювання параметрів розподілів випадкових величин (див., наприклад, розділи 4 і 5).
Як відзначалося вище, в математичній статистиці використовуються два паралельних рядка показників: перший – має відношення до практики (це показники вибірки), другий – базується на теорії (це показники імовірнісної моделі). Співвідношення цих показників представлено у табл. 3.5.
Таблиця 3.5
Співвідношення показників емпіричної вибірки й імовірнісної моделі
Таблиця 3.5 продовження
Отже, метою описової статистики є перетворення сукупності вибіркових емпіричних даних на систему показників – так званих статистик, що мають відношення до реально існуючих об’єктів. Так, психологи, педагоги, інші фахівці працюють у реальній сфері, об’єктами якої є особи, групи осіб, колективи, характеристиками для яких служать емпіричні показники. Проте основна мета дослідження – це здобуття нового знання, а знання існує в ідеальній формі у вигляді характеристик теоретичних моделей. Звідси виникає проблема коректного переходу від емпіричних показників реальних об’єктів до показників теоретичної моделі. Цей перехід потребує аналізу як загальних методичних підходів, так і строгих математичних підстав. Принципову можливість тут відкриває закон великих чисел, теоретичне обгрунтування якому було надане Якобом Бернуллі (1654-1705), Пафнутієм Львовичем Чебишевим (1821-1894) та іншими математиками XIX ст.
Запитання. Завдання.
1. Розкрийте поняття випадкової величини.
2. Чим відрізняються дискретна і неперервна випадкові величини?
3. З яких елементів складається імовірнісний простір?
4. Як побудувати розподіл дискретної випадкової величини?
5. Як зв’язані між собою функція щільності Л(х) і функція розподілу Б(х)?
6. Надайте геометричну інтерпретацію інтегралові Б(со) = | Л(х)сх = 1.
(2 votes, average: 5,00 out of 5)