Математична статистика – Руденко В. М. – Початкові та центральні моменти
Розрахунки показників МЦТ і ММ можна здійснити в MS Excel трьома способами з використанням:
O математичних операцій за відповідних формул МЦТ і ММ;
O вбудованих статистичних функцій MS Excel;
O спеціального розділу “Описова статистика” пакету “Аналіз даних”. Спосіб 1. Результати розрахунку МЦТ і ММ представлено на рис. 2.37,
Відповідні математичні вирази, формули і функції MS Excel – на рис. 2.38 .
Рис. 2.38. Математичні вирази для розрахунку МЦТ і ММ
Мода вибірки Мо=2 (значення 2 трапляється у вибірці 5 разів). Медіана дорівнює
Мй – ХП/2 + ХП/2+1 _ Х12/2 + Х12/2+1 _ Х6 + Х7 _ 2 + 2 _ 4 _ 2
~ 2 2 ~ 2 ~ 2 ~2~ .
Середнє арифметичне вибірки X = – v хІ = – 28 = 2,33.
П 12
Дисперсія вибірки У2 = ^(П’_1 ) = 1^ = ~ 1,52 .
Стандартне відхилення вибірки уХ =^[^ї = 1,52 “1,23. Асиметрія вибірки
Спосіб 2. Результати розрахунків показників описової статистики для чотирьох вибірок представлено на рис. 2.39, графіки розподілу – на рис. 2.402.43. Для розрахунків були використані такі статистичних функцій MS Excel:
Обсяг вибірки =СЧЕТ() | Дисперсія | =дисп() |
Середнє =СРЗНАЧ() | Ст. відхилення | =СТАНДОТКЛОН() |
Мода =МОДА() | Асиметрія | =СКОС() |
Медіана =МЕДИАНА() | Ексцес | =ЭКСЦЕСС() |
Рис. 2.39. Розрахунки розподілу, МЦТ і ММ за допомогою функцій табличного процесора MS Excel
Розподіли розраховано за допомогою функції =ЧАСТОТА() і представлено на рис 2.40-2.43.
Як видно, всі вибірки унімодальні, характеризуються приблизно однаковими МЦТ (див. комірки F25:J27). Розподіл вибірки f1(x) має нульову асиметрію (0,00), малий додатний ексцес (0,20) і серед чотирьох вибірок найбільш відповідає властивостям нормального розподілу (рис. 2.40).
Розподіл f2(x) характеризується незначною від’ємною асиметрією (-0,18) і суттєвим від’ємним ексцесом (-0,75) (рис. 2.41). Розподіл f3(x) “деформований” у лівий бік з асиметрією (0,70) і помірним додатним ексцесом (0,26) (рис. 2.42). Розподіл f4(x) має від’ємну асиметрію (-0,68) ще й додатний позитивний ексцес (0,64). У порівнянні зі “стандартом” він менш за все відповідає вимогам нормальності серед досліджуваних вибірок.
Спосіб 3. Отримати показники МЦТ і ММ вибірки за допомогою пакета “Аналіз даних” розділ “Описова статистика” можна у такій послідовності дій:
O виконати команди головного меню Excel [Сервіс -> Аналіз даних], вибрати розділ “Описова статистика (рис. 2.44), викликати діалогове вікно;
Рис. 2.44. Розділ “Описова статистика”
O встановити у діалоговому вікні “Описова статистика” (рис. 2.45) вхідні дані та параметри виводу, виконати команду ОК і отримати результати у комірках стовпчиків С:Б (рис. 2.46);
Рис. 2.45. Параметри діалогового вікна
O порівняти результати з розрахунками емпіричних МЦТ і ММ попереднього способу 1 (рис. 2.37), зробити висновки.
Рис. 2.46. Результати розрахунку основних показників описової статистики
Отже, серед розглянутих способів розрахунку статистик (показників МЦТ і ММ), найбільш ефективним і гнучким вважаються засоби з використанням вбудованих статистичних функцій табличного процесора MS Excel.
Початкові та центральні моменти
Для системної характеристики варіаційного ряду використовують спеціальні показники – Початкові та центральні моменти.
Початковий момент к-то порядку варіаційного ряду визначається як:
П
VK =еХК * Їі. (2.13)
Центральний момент к-то порядку визначається за формулою:
П _
ТК =е(х “Х)К *Л, (2.14)
І=і
Де Хі – варіанти розподілу; /І – диференціальні відносні частоти, x – середнє арифметичне.
Очевидно, що перший початковий момент (к=1) має сенс середнього арифметичного варіаційного ряду
П _
Т1 =хХІ ” -/і = Х. (2.15)
Перший центральний момент (к=1) дорівнює нулю, що зумовлено властивостями середнього
П _
Т =е (х – Х) ■ /і = о. (2.16)
Другий центральний момент (к=2) – це дисперсія ¡1 варіаційного ряду
П _
Т2 =е(Х ~Х)2 ■ /і = ЯХ2. (2.17)
Третій центральний момент (к=3) характеризує асиметрію розподілу
Тз = £(ХІ – X)3/І.
Якщо розділити третій центральний момент Т3 на куб середньоквадра-тичного відхилення (яХ)3, то отримаємо Коефіцієнт асиметрії розподілу ^4Х:
7% £ (х – Х)3 У = А* . (2.18)
С5*) С5*) 1=1
Четвертий центральний момент т4 дає можливість оцінити “загостреність” варіаційного ряду, тобто оцінити ексцес
Т4 = £(х, – X)4/ . Коефіцієнт ексцесу ЕХ визначається через 4-й центральний момент Т4 :
-3-[5(х;-Х)3Л]-3-ЕХ (2.19)
Між центральними і початковими моментами існує зв’язок: Т! = 0;
Що витікає з перетворень:
П п п п
Т2 =£(X “X)2/ =е(*2 “2х, Х + X v, =£х2У) – е(2х, Х-X2)/І = І=і і=і і=і і=і
= уГ – х(х, Х+х~Х-X2)/і = уГ – Х%/ – Х£(х, – X)/; ^2 -^ -0 = уГ – V2
І=1 і=1 і=1
П П
Отже, якщо т2 = V2 =е ХІ ‘ Ї; , VL =еХ;’ Ї; , то можна отримати ще одне співвідношення, яке використовується для розрахунку дисперсії:
П ( П 2
І=1 v і=1 )
Центральні моменти 3-го і 4-го порядку теж можна записати за допомогою початкових моментів:
Т3 = v3 – 3^2 + 2v3, (2.20)
Т4 = v4 – 4^3 + 6v12V2 – 3v4 і т. д.
Практика статистичних досліджень обмежується, як правило, використанням моментів до 4-го порядку.
На основі порівняння значень теоретичних і вибіркових моментів виконується оцінювання параметрів розподілів випадкових величин (див., наприклад, розділ 4 “Методи статистичного оцінювання”).
(1 votes, average: 5,00 out of 5)