Теорія статистики – Мармоза А. Т. – Нормальний розподіл
Під законом розподілу Слід розуміти такий теоретичний розподіл до якого прямує емпіричний розподіл при п -” со.
В статистиці широко використовуються різні види теоретичних розподілів, серед яких класичними вважаються нормальне, біноміальне і пуассонове. Серед названих законів розподілу, на якому грунтується більшість статистичних методів дослідження, є закон нормального розподілу.
Окремі закони пов’язані з характером розподілу окремих випадкових величин і застосовуються для розв’язання конкретних задач. Ці закони носять імена вчених, які їх відкрили. Серед них у статистичній науці і практиці найбільш широке застосування одержали закони розподілу Стьюдента, Пірсона і Фішера-Снедекора.
Кожний із законів розподілу має свою специфіку і область застосування в різних галузях знання.
Закони розподілу в основному використовуються для розв’язування задач, пов’язаних з оцінкою параметрів генеральної сукупності і перевіркою статистичних гіпотез.
Розглянемо закони розподілу, що одержали в статистичному аналізі найбільше застосування.
Нормальний розподіл
Більшість соціально-економічних і природних явищ підпорядковано закону нормального розподілу. Підпорядкованість закону нормального розподілу проявляється тим точніше, чим більше випадкових величин діє разом. Якщо жодна з випадково діючих причин за своєю дією не виявиться переважною над іншими, то закон розподілу дуже близько підходить до нормального.
Така закономірність проявляється, наприклад, в розподілі відхилень у виробничому процесі при нормальному рівні організації і технології, в розподілі населення певного віку за розміром взуття, одягу і в багатьох інших випадках.
Нормальний розподіл є симетричним розподілом, в якому більшість значень випадкової величини концентрується навколо середньої величини, його особливістю є те, що чим більше значення окремих варіант відхиляються від середньої величини, тим рідше вони зустрічаються і тим менше імовірність їх появи. І навпаки, чим ближче варіанти до середнього значення, тим частіше вони зустрічаються і тим більше імовірність їх появи. Однакові за абсолютним значенням, але протилежні за знаком відхилення значень змінної х від середньої рівно імовірні.
Імовірність відхилень вибіркових середніх від генеральної середньої (~ – х) при великому числі спостережень (п -“со) визначається законом нормального розподілу Лапласа-Гаусса.
Нормальним розподілом Називають розподіл неперервної випадкової величини, який описується щільністю імовірності
Де Ф(х) – щільність імовірності (ордината кривої); ст0 – середнє квадратичне відхилення генеральної середньої, яке у практичних розрахунках замінюється вибірковим ст; К = 3,14 … (постійна величина, яка характеризує відношення довжини кола до довжини його діаметра); Е = 2,718… – Основа натуральних логарифмів (число Ейлера).
Як видно, нормальний розподіл визначається двома параметрами: середньою арифметичною і середнім квадратичним відхиленням. Знаючи ці параметри, можна побудувати криву нормального розподілу.
Звичайно в даній формулі замінюється на і, де відхилення представлені в частках середнього квадратичного відхилення, прирівняного до одиниці. Завдяки нормуванню, дисперсія І = 1, а х = 0.
Рівняння нормальної кривої при такій заміні приймає вигляд:
Його називають Стандартним рівнянням нормальної кривої, А нормальну криву – нормованою кривою. При її побудові за емпіричними даними застосовують таку формулу
Де У – ордината кривої (теоретична частота); Ь – величина інтервалу; П – чисельність сукупності; ег – середнє квадратичне відхилення; /(і) – функція щільності нормального розподілу.
Графік щільності нормального розподілу називається нормальною кривою Або кривою Гаусса (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Крива нормального розподілу імовірностей
Ця дзвоноподібна крива симетрична відносно осі ординат і асимптотично наближається до осі абсцис. Крива має точки перегину при І = ±1, тобто при таких відхиленнях значень ознаки від середньої арифметичної, які дорівнюють одному середньому квадратичному відхиленню. Площа, що обмежена кривою і віссю абсцис, дорівнює одиниці. Значення щільності імовірності Ф(х) залежить тільки від величини нормованого відхилення і, так як я і е – постійні величини. Так, при І = 0 співмножник е 2 = 1 і щільність імовірності максимальна Ф(0) = 0,3989. Мірою зростання І Щільність імовірності зменшується.
Для знаходження значень інтеграла імовірностей при заданому І Складені спеціальні таблиці (дод. 2), за якими можна визначити значення І При заданому рівні імовірності Р і значення Р імовірності при відомому і.
Теоретичні значення І І Р, що обчислені на основі стандартного рівняння нормальної кривої, використовуються в математичній статистиці, зокрема, у вибірковому методі, як нормативи (критерії), за допомогою яких проводиться оцінка вибіркових характеристик. В зв’язку з цим нормоване відхилення кривої нормального розподілу отримало назву І – критерію розподілу нормальної кривої.