Страхування – Базилевич В. Д. – Оцінка для ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику
Природно поставити питання про ймовірність банкрутства страхової компанії, яка має початковий капітал u, на інтервалі часу [0, + ао). Позначимо цю ймовірність через \і(и). Очевидно, що ф(и) = Р < 0 при деякому T > О}. Будемо розглядати таку функцію
(p(u) = l-v|/(w), (27.8)
Яка виражає ймовірність того, що на інтервалі часу [0,+ оо) банкрутство не відбувається. Наведемо без доведення наступну теорему.
Теорема 27.2 І. Функція (р(и) диференційована і задовольняє інтегродиференціальне рівняння
X Х”е
Q>'(u)=-<p(u)- L(u-z)dF(z). (27.9)
С сJ
О
Зауважимо, що рівняння (27.9) можна отримати і обходячи припущення про диференційованість функції (p(u). Також можна встановити інтегральне рівняння для (p(u).
Теорема 27.32. Функція ф(и) задовольняє інтегральне рівняння – и
Ф(и) = ф(0) + – Гф(и – г)(1 – F{z))dz. (27.10)
С Ї
Функція ф(ц) обмежена (це ймовірність, і тому 0 <> ф(ц) Й 1) і монотонно не спадає (у разі збільшення початкового капіталу ймовірністьнебанкрутствазбільшується). Томуіснує lim ф(и) = = ф(+ао). Переходячи до границі при и->-ко в обох частинах рівності (27.10), будемо мати
Ф(+оо) = ф(0)+-цф(+оо), (27.11)
С
-не
ДЄ |і= (1-F{z))dz.
Звідси ф(0) = Гі–^ф(+оо).
Якщо є ненульовий розв’язок інтегрального рівняння (27.10), то природно вважати, спираючись на теоретико-ймовірнісний зміст ф(и), що ф(+оо) = 1 (при нескінченному початковому капіталі банкрутство не відбудеться). Таким чином,
Ф(0)=1-(^1 Оскільки ф(0)>0, то
Зазначимо, що ^=(~~^^) = С~(^/ Випадковий процес
5, є однорідним процесом з незалежними приростами і
= Хи*. Тому відповідно до підсиленого закону великих чиєї
Сел з імовірністю одиниця – -> А. ц. Для застосування закону
Великих чисел досить зауважити, що за будь-якого Ї І будь-якого п величину 5, можна представити у вигляді суми п незалежних однаково розподілених випадкових величин:
Якщо с < А. ц, то процес (її З ймовірністю одиниця прямує до – оо і тому за будь-якого И З ймовірністю одиниця відбувається банкрутство. У цьому випадку (р(и) = 0 (рівняння (27.10) не має обмеженого розв’язку). У випадку с = Хц теж У(и) = 0 І рівняння (27.10) має лише нульовий розв’язок. Надалі ми будемо припускати, що с > А. Ц,
Сформулюємо важливий результат, що випливає з попередніх теорем, який ми будемо використовувати в подальших дослідженнях.
Теорема 27.4І. Якщо виплати є експоненціально розподіленими випадковими величинами з математичним сподіванням и, то ймовірність банкрутства Ці(и) за початкового капіталу И Дорівнює
Г Х
М/(и)=ГГеЄ< + >^ ЯКЩ° С>^’ (27.12)
1, якщо с й
За допомогою перетворення Лапласа функції ср(м), заданої рівністю (27.10), можна отримати явний вигляд цієї функції у випадку, якщо сума виплат страхової компанії є константою.
Теорема 27.5І. Якщо в моменти часу х1,х2,…,тП,… стрибків процесу Пуассона виплачується одна сума А і ока, То ймовірність небанкрутства за початкового капіталу И Дорівнює
= (і-Їі)у±-(АV (Ц _ КА )1 ехр(-(и – Ка І (27.13) V с ;£ок\ с) [с )
Х + х Г*. Х*0, ДЄХ+ 2 І0. *<0.
2 [0, *<0.
Асимптотична поведінка ймовірності банкрутства за великих обсягів початкового капіталу
Дослідимо асимптотичну поведінку ймовірності банкрутства \і(и) На проміжку [0,+) за початкового капіталу И, Якщо и -> +<*>.
Користуючись рівнянням (27.10) та враховуючи, що ф(и) = 1 – А. цс, можна отримати таку рівність2:
І|/(и) = – {(1-^(2))^+- ||/(іг-2)(1-^(2))гіг. (27.14)
С И С 0
Позначимо
Ц=- уеНу[1 ‘Р(у)Щ (27.15)
Тоді має місце теорема, яка є однією з найважливіших в ак-туарній математиці.
Теорема 27.6А. Нехай – <1, рівняння
С
– [вЯу[1-^(і/)]^=1 (27.16)
С J
Має корінь Я і ц < +оо. Тоді при И –> +°о
Ц(и)–^=еНи. (27.17)
У1 (1 + Є)Дц
Запис y(u)~g(u) при и-“-н” означає, що Ііш =1.
Дослідимо умови існування кореня рівняння (27.16). Нехай +00
7і(г) = МеГУі -1= |е”<Щг)-1. (27.18)
О
Зробимо такс припущення.
Припущення. Існує г > 0 таке, що Л(г) Т+оо, коли г Т гК (допускається і можливість г = – Ьоо).
За цього припущення рівняння (27.16) можна записати у вигляді
Л(Я)=-Я, або /і(Я)=(1+6)иД. (27.19)
А.
Лема 27.1І. При зроблених припущеннях рівняння (27.19) має єдиний додатний корінь Я, причому і? <
Таким чином, теорема 27.6 може бути переформульована так.
Теорема 27.72. (Теорема Крамера – Лундберга). При зроблених припущеннях відносно &;(г) і при И -> +оо
4>(и)–^У-ге”Ии. (27.20)
Де /? – корінь рівняння (27.19).
Праву частину (27.20) називають Апроксимацією Крамера – Лундберга, А число Я – коефіцієнтом Лундберга або Характеристичним коефіцієнтом.
Якщо виплати є експоненціально розподіленими випадковими величинами з математичним сподіванням и, то 1 Гь
Л(г)=–1=–. Тоді рівняння (27.19) має вигляд
1-гр 1-гр Яц, ” .
–=(1 + 0)Яц. Це рівняння має тривіальний корінь 0 та єди-
1-Яц
Ний додатний корінь Я =-, що і є характеристичним
. 0 + 0)ц
Коефіцієнтом.
Зауважимо, що у випадку експоненціального розподілу апроксимація Крамера – Лундберга є точною1.
Оцінка для ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику
Будемо продовжувати досліджувати ймовірність ц/(ц) банкрутства на [0,+оо) у класичній моделі ризику за початкового капіталу и. Будемо вважати, що о А. и (якщо с < Хр, то банкрутство відбувається з імовірністю 1). У попередньому пункті за певних припущень ми встановили асимптотичні формули для \і(и) за великих значеннях И.
Виявляється, що можна вказати оцінку зверху для ймовірності |/(и), яка справедлива при всіх ц > 0. А саме має місце така теорема.
Теорема 27.82. Нехай рівняння
-е””[1-Р(у)]<Іу = 1 (27.21)
С О
Має додатний корінь Я. Тоді при всіх И > 0 виконується нерівність
У(и)<е-Ли. (27.22)
Нерівність (27.22) називають нерівністю Крамера – Лундберга. Доведення цієї нерівності можна знайти також у роботі Г. І. Фаліна3.
(2 votes, average: 4,00 out of 5)