Логіка – Мозгова Н. Г. – 4. Особливості імплікації
Серед формул логіки висловлювань є такі, які незалежно від значень істинності їх атомів є завжди істинними. їх називають тотожно істинними формулами або тавтологіями.
Прикладом тавтології є відомий вже вам закон виключеного третього – А V – А. Побудуємо його матрицю:
Як бачимо, незалежно від того, які значення істинності мають атоми (А, – А), формула в цілому має значення істинності – “Істина” (1).
Зазначимо, що будь-який закон логіки є тотожно істинною формулою або тавтологією.
*Дві формули F1 та F2с еквівалентними (рівносильними) тоді і тільки тоді, коли їх подвійна імплікація (F1-F2) – тавтологія.
Перевірку еквівалентності двох формул здійснюють за допомогою таблиць істинності. Якщо значення їх істинності в цілому однакові, то відповідні формули еквівалентні. Перевіримо, наприклад, чи еквівалентні такі формули:
А->Ві~А УВ
Побудуємо їх таблиці істинності:
Очевидно, що подвійна імплікація цих формул є тавтологією:
(А -> В) <-* (~ А V В)
Деякими елементарними еквівалентностями логіки висловлювань є такі:
1) А->В = ~А/В – вираження імплікації через диз’юнкцію та заперечення.
2), а) ~ (А Л В) = ~ А V – В;
Ь) ~(А/В) = ~АЛ~В – закони де Моргана.
3) А <-> В = (А -> В) Л (В -> А) – подвійна імплікація через імплікацію та кон’юнкцію.
4) Скориставшись еквівалентністю (1), отримаємо: А <-> В = (~А V В) Л (~В V А).
5) Скориставшись правилом де Моргана (2Ь), отримаємо: А <-> В н ~ (А Л ~В) Л ~(В Л – А).
Відношення еквівалентності дозволяє перетворювати одні (складні) висловлювання на інші (прості).
4. Особливості імплікації
Імплікація двох висловлювань (А та В) суттєво відрізняється від інших логічних операцій – кон’юнкції, диз’юнкції та подвійної імплікації. Якщо АЛВ = ВЛА, АУВ а ВуА, А<->В = В<->А, то А->В Ф В->А. Тобто, якщо всі логічні операції є симетричними, то імплікація не є симетричною операцією.
Саме тому, ми давали її визначення не через випадок істинності, а через випадок хибності.
Тепер розглянемо випадки її істинності. Матриця імплікації має вигляд:
З таблиці видно, що:
1) Імплікація є завжди істинною, при хибному антецеденті, незалежно від значення істинності консеквента (рядки таблиці 3,4). В обох випадках А є хибним, але в третьому рядку В є істинним, а в 4-му В – хибне. Отже, ми можемо визначити істинність імплікації, знаючи тільки значення істинності лівої частини. Якщо вона хибна, то імплікація є істинною.
2) Імплікація є завжди істинною при істинному консеквенті (1, З рядки), незалежно від значення істинності антецедента. Так, у першому рядку він істинний, а в третьому – хибний. Це теж дозволяє визначати істинність імплікації тільки за значенням істинності консеквента.
Отже, імплікація є істинною тоді і тільки тоді, коли антецедент є хибним або консеквент є істинним.
5. Відношення логічного слідування
Дуже важливим у логіці висловлювань (і в логіці взагалі) є відношення логічного слідування, оскільки на ньому грунтуються всі умовиводи та доведення. Відношення логічного слідування позначають символом К Формула Б. н Б2 читається: “З Р. логічно слідує (випливає) Р2, або Р2 є логічним наслідком
З формули Р1 логічно слідує формула Р2 тоді і тільки тоді, коли їх імплікація (¥ ] – є завжди істинною формулою (* та етологією).
Між відношенням логічного слідування (Н) та імплікацією (->) існує тісний зв’язок, але їх не слід плутати. Імплікація – це висловлювання, що складається з двох елементарних висловлювань і серед наборів її значень істинності може бути “хиба”. *Логічне слідування – це відношення між двома висловлюваннями, яке є завжди істинною імплікацією.
Для перевірки, чи є Б2 логічним наслідком ¥г необхідно:
1) з’єднати їх знаком імплікації (Р,-“Р2);
2) побудувати таблицю для отриманої формули;
3) якщо ця формула є тавтологією, то з Р, логічно випливає її (Б, Ь Б2); якщо ця формула не є тавтологією, то з Б, логічно не випливає Р2
Нехай Р, – (АлВ), а Р2 – (А/В). Перевіримо, чи є ¥2 логічним наслідком Б,.
Оскільки отримана формула є тавтологією, то це означає, що Р, ьР2. Перевіримо тепер навпаки: чи є Р, логічним наслідком Р2.
Оскільки ця формула не є тавтологією, то це означає, що Р, не є логічним наслідком з Р2
Якщо Р1ЬР2, але ¥2*¥19 то формула Р, є більш сильною по відношенню до Р2. Якщо ж Р, І-Р2 і $2і-¥1, то Р1 та Р2- рівносильні або еквівалентні.
Література для поглибленого вивчення розділу
А. Основна.
1. Гетманова А. Д. Логика. – М.: Новая школа, 1995. – С. 68-83.
2. Жеребкін В. Є. Логіка. – X.: Основа; К.: Знання, 1999. – С. 86-93.
3. Кириллов В. И., Старченко A. A. Логика. – М.: Высшая школа, 1995. – С. 158-163.
4. Конверський А. Є. Логіка. – К.: Четверта хвиля, 1998. – С. 195-202.
5. Иванов Е. А. Логика. – М: Издательство БЕК, 1996. – С. 137-171.
6. Свинцов В. И. Логика.-М.: Скорина; Весь мир, 1998.-С. 101-116.
7. Тофтул М. Г. Логіка: Навч. посібн. для студентів вищих навчальних закладів. – К.: Академія, 2003. – С. 90-102.
8. Хоменко І. В., Алексюк I. A. Основи логіки. – К.: Золоті ворота, 1996. – С. 96-145.
9. Хоменко І. В. Логіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів. – К.: Абрис, 2004. – С. 99-107.
В. Додаткова
1. Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. – М.: Просвещение, 1990. – С. 154-209.
2. Карнап Р. Значение и необходимость. – М.: Наука, 1968. – С. 331-334.
3. Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. – М.: Наука, 1975. Статті: высказывание, дизъюнкция, импликация, исчисление высказываний, конъюнкция, отношение между суждениями, разделительное суждение, сложное суждение, суждение, условное суждение, эквивалентность.
4. Логические методы и формы научного познания. – К.: Наукова думка, 1984.-200 с.
5. Мельников В. Н. Логические задачи. – К.; Одесса: Вища школа, 1989. – С. 59-101; 154-177.
6. Свинцов В. И. Смысловой анализ и обработка текста. – М.: Наука 1979.-272 с.
(1 votes, average: 5,00 out of 5)